Logika Matematika

Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka.

Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.

Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:

• 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
• 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
• Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
• Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)

Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

Pernyataan A : 

Becak memiliki roda tiga buah

Negasi dari pernyataan A : 

Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:

p	q	P ^ q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B	S	S	Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S	B	S	Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.

Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B	S	B	Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S	B	B	Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:

Logika matematika merupakan materi yang sangat penting dalam memahami teori matematika serta dalam menarik suatu kesimpulan dari premis-premis yang ada.

Cara cepat menghitung perkalian

Sebelum masuk ke ajaran dibawah ini, perlu diketahui ada beberapa cara yang memiliki soal yang bersyarat. Karena caranya dibilang banyak sekali juga ngga, tapi supaya ngga bingung, setiap metode saya beri nama masing2, biar belajarnya lebih mudah.

I Perkalian silang 2 digit, adalah perkalian yang tidak memiliki syarat, maksudnya untuk semua angka bisa dikalikan dengan cara perkalian silang dan jauh lebihncepat dari cara konvensional.

II Perkalian bersyarat
A. Metode WOW
B. Metode JODOH
C. Metode KEMBAR
D. Metode 99

I. Perkalian “SILANG” (berlaku untuk semua soal, 2 digit X 2 digit)

Contoh. 24×37
Pertama yg kita lakukan, hitung secara silang
24
37
—x
7×2= 14
4×3= 12 , lalu jumlahkan hasil ke dua angka = 26 (atas)

Lalu yg kedua, kalikan secara vertikal
2×3= 6 (depan)
4×7= 28 (belakang)

Lalu susun hasil ketiga angka diatas seperti formasi dibawah ini
Atas
Depan Belakang

26
0628
——+
888 inilah jawabannya, kenapa saya kasih angka nol didepan 6, karena ini memang aturan untuk perkalian 2 digit, jadi untuk angka 26(atas), angka 2 milik depan, dan angka 6 milik belakang. Sekarang saya coba soal yg lbh besar angkanya.

89 x 78= sama seperti atas, lakukan perkalian silang dahulu
9×7= 63
8×8= 64
lalu jumlahkan 63+64= 127 (atas)

Sekarang kalikan secara vertikal
8×7= 56 (depan)
9×8= 72 (belakang)

Untuk angka 127 diatas, 12 milik depan dan 7 milik belakang, sehingga aturannya seperti ini
127
5672
——+
6942 inilah jawabannya, gampang kan, cara ini berlaku untuk semua angka 2 digit. Dan kalau ini dilatih terus menerus, tidak menutup kemungkinan kalau ada soal seperti perkalian diatas, anda tinggal pikir di kepala lalu langsung anda bisa menjawab. Saran saya hitung silang dulu, lalu hafalkan yg “atas” setelah itu lakukan kalian vertikal lalu anda dapat “depan” dan “belakang”
Ucapkan kata depan, atas, belakang dalam pikiran anda, lalu hitung semuanya dipikiran anda, maka hasilnya dgn mudah terjawab. Kalau anda latih terus, untuk mengerjakan 5 soal parkalian diatas, jawab dengan pikiran tanpa buram dan kalkulator. Semuanya bisa dikerjakan dalam waktu bbrp menit saja. Kalau saya waktu tercepat selama ini 1 menit 35 detik untuk 5 soal, menjawab hanya berpikir seperti joe sandi di film the master :)

II. Perkalian dengan soal yang memiliki syarat.

A. Perkalian 2 digit, angka pertama dan kedua sama semua, lalu dibelakangnya kalau dijumlahkan nilainya 10, contoh

24×26, perhatikan angka 24 dan 26, depannya sama2 memiliki angka 2 dan belakangnya kalau masing2 dijumlahkan, nilainya 10 (6+4)

Kalau soalnya seperti ini berarti sudah memasuki kriteria WOW
Cara menghitungnya, tinggal angka 2 didepan ditambah 1, lalu dikalikan angka depan yg kedua. Jadi 3×2= 6

Lalu untuk belakangnya, tinggal kalikan aja dan tulis hasilnya, 6×4= 24
jadi kalau angka 6 dan 24 digabung jadi 624, ini jawabannya.

Sekarang coba lagi, 87 x 83
Jadi tinggal 9×8= 72
dan yg belakang 7×3= 21
jadi jawabannya 7221, gampang banget kan, makanya perkalian jenis ini saya katakan WOW, karena angkanya cocok semua

B. Sekarang yang depan sama, tapi yang belakang kalau dijumlah tidak 10, contoh
18 x 17 = kalau kita lihat, angka depannya sama, tapi yang belakang kalau dijumlahkan bukan 10, nah loh…. kalau ada soal seperti ini, saya sebut JODOH,kenapa, karena depqnnya sama cuma belakangnya dijumlah tidak 10, jd kalau terima soal seperti ini, langkahnya
18×1=18, kenapa dikali 1, karena angka depan 18 dan 17 adalah 1(kedua angka yg depan dua2nya harus sama), lalu
7×1= 7, begitu juga yg ini kenapa dikalikan 1, sama seperti diatas.
setelah itu jumlahkan 18+7=25 (depan)

Lalu kedua 8×7= 56 (belakang) lalu jumlahkan seperti ini
25
56
———+
306

Saya kasih contoh soal JODOH lagi

79 x 76= ingat depan sama, belakang tidak 10 berarti JODOH

79×7= 553, lalu angka kedua yg belakang dikalikan angka 7 karena sama2 tujuh
6×7 = 42
—————+
595 (depan)

Lalu yang belakang 9×6= 54 (belakang) lalu jumlahkan seperti ini
595
54
——-+
6004 inilah jawabannya. Mudah kan
Metode WOW DAN JODOH ini, kalau misalnya dihitung dengan metode “Classic” yang saya jeflaskan pertama kali diatas, hasilnya juga akan SAMA tetapi mungkin memakan waktu lebih lama sedikit.

C. Perkalian KEMBAR
24×24, perkalian kuadrat.

24
24
—-x

Kalau menemukan perkalian seperti ini, amat cepat sekali kalau cara menghitungnya seperti ini
2×4= 8, lalu kalikan 2
8×2= 16 (atas)

Kalikan secara vertikal
2×2= 4 (perkalian antar depan angka) (depan)
4×4= 16 (perkalian antar belakang) (belakang)

Jadi

16
416
————+
576 ini jawabannya

Lagi ya, 68×68=

6×8= 48, lalu dikalikan 2
48×2= 96 (atas)

Lalu 6×6= 36 (depan)
Dan yang belakang 8×8 = 64 (belakang)
Jadi kalau digabungkan dan dijumlah

96
3664
——–+
4624

D. PERKALIAN 99
Perkalian jenis ini adalah perkalian untuk angka yang mendekati 100
Contoh 93×97

Kalau melihat perkalian seperti ini, bisa juga sih pakai metode classic, tapi sedikit lebih susah karena angkanya cenderung besar. Cara yang paling mudah, seperti gini

Angka 93 itu kurangnya berapa supaya menjadi 100, jawabannya kurang 7 kan. Jadi -7
Dan 97 juga begitu, kurang 3, jadi -3, jadi kalau saya tulis seperti ini

-7 x -3
93 x 97 betul kan, lalu cara menghitungnnya

93 – 3 = 90 (depan)
7 x 3 = 21 (belakang)
Jadi digabungkan 9021

Contoh lagi
89×95

-11 x -5
89 x 95
Jadi 89-5 = 84
dan 11×5 = 55

jadi digabungkan 8455, mudah bukan?

Nah, nanti untuk selanjutnya, saya akan jelaskan untuk perkalian yg 3 digit, contoh

345 x 345
123456 x 45
5675467 x 567

3 soal diatas dapat dihitung tanpa menggunakan buram/coret2, semuanya melalui pikiran dan langsung tulis hasilnya. Caranya pun sebenarnya juga hasil dari saya kembangkan sendiri meskipun mirip2 yang 2 digit.

Dan semua tujuan hitung2an diatas, selain untuk cara cepat, saya lebih cenderung untuk mengasah otak kita, kalau anda melakukan hitungan ini setiap hari (seperti les KUMON), saya yakin, begitu anda melihat hitung2an, anda akan senang dan tidak akan menggunakan calculator, alat ini boleh digunakan sekedar untuk check saja, maka otak anda akan dibekali ilmu yang luar biasa dan akan tajam seperti silet.

Ilmu diatas, saya kutip dari Youtube, lalu ada sebagian yang saya kembangkan sendiri. Jadi kalau ada yang masih bingung tolong jangan ragu untuk tanya ke saya, saya akan bantu jawab sebisa mungkin. Terima kasih